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考试科目代码:[812]

考试科目名称:数学教学论

一、考核目标

数学教学论是一门重要的专业基础课程。要求考生系统掌握数学教学论的基本理论、基本知识和基本方法，能够运用所学的基本理论、基本知识和基本方法分析、判断和解决有关理论问题和实际问题。

1、准确识记数学教学论的基本知识，检测考生对数学教学理论知识的掌握与理解情况。

2、正确理解数学教学的基本理论知识，考核考生分析与解决数学教育中实际问题的能力。

3、灵活掌握数学教学的基本理念与基本技能，综合测试考生运用数学教学理念与技能于实际的能力。

二、试卷结构

（一）考试时间：180分钟，满分：150分

（二）题型结构

1、名词解释题：6小题，每小题5分，共30分

2、简答题：5小题，每小题10分，共50分

3、论述题：2小题，每小题20分，共40分

4、设计题：1小题，每小题30分，共30分

三、答题方式

答题方式为闭卷笔试

四、考试内容

第一章绪论：为什么要学习数学教育学,10%（15分）

考试内容:

（1）中学数学教育学的发展史

（2）我国数学教育发展概况数学教育研究热点的转变

（3）几个数学教育研究的案例及数学教育改革

考试要求：

（1）了解中学数学教育学的研究对象、内容及其学习该学科的意义

（2）了解数学教育研究热点的转变

（3）深刻理解中学数学教学改革

理论篇,50%（75分）

第二章与时俱进的数学教育

考试内容:

(1)20世纪以来数学观的变化（主要涉及以欧氏几何为代表的古希腊公理化,数学、以牛顿发明微积分为代表的无穷小算法数学、以希尔伯特为代表的现代公理化数学、以计算机技术为代表的信息时代数学等）

(2)20世纪以来我国数学教育观的演变

考试要求：

(1)了解数学发展史上四个高峰的特征

(2)理解20世纪数学教育观的变化；能在国际视野下认识和理解中国的数学教育和数学教育改革

（3）掌握20世纪数学观和教育观的变化

第三章数学教育的基本理论

考试内容:

（1）弗赖登塔尔的数学教育论

（2）波利亚的解题理论

（3）建构主义的数学教育理论

（4）我国“双基”教学的成就与不足

考试要求：

（1）掌握中学数学教育学的基本理论

（2）对中学数学教学实践有一个理性的认识，并能理论联系实际

第四章数学教育的核心内容

考试内容:

数学教育目标及其确定、数学能力的界定、数学常见教学模式及教学方法

考试要求：

（1）了解数学教育目标及其确定

（2）掌握数学能力的界定

（3）掌握数学常见教学模式及教学方法

第五章数学教育研究的一些特定课题

考试内容:

（1）数学教育目标的确定和数学能力的界定

（2）数学教学模式类型及特点

考试要求：

（1）理解数学教学基本模式的特征

（2）掌握确定中学数学教育目标的主要依据，以及中学数学教育的基本功能

第六章数学课程的制定与改革

考试内容:

数学课程发展背景、认识变革的时代必然性；了解现阶段我国数

学教育改革的进程；理解数学课程改革的重要性和数学课程标准的内容、要求和

实施。对我国现阶段的课程改革形成正确的认识；理解数学课程标准内容

考试要求：

（1）了解数学课程发展背景及其变革的时代必然性；了现阶段我国数学教育改革的进程；我国现阶段数学课程改革的理念及相关内容

（2）理解国家基础教育数学课程的基本内容。能从数学、社会、教育和数学教育观等角度分析数学课程改革必然性；能分析新一轮国家基础教育数学课程与传统数学课程的异同。

第七章数学评价与数学考试

考试内容:

成绩考核、数学教育评价的诊断功能、学生学习成绩的评价

考试要求：

初步学会搜集和处理数学课程与教学的设计与实施过程中的信息，从而做出价值判断、改进教学决策。

实践篇40%(60分)

第八章数学课堂教学基本技能训练

考试内容:

（1）如何吸引、启发、组织生

（2）如何与学生交流

（3）形成教学艺术风格

考试要求：

掌握中学数学教学的基本技能，加强数学教学基本功的训练，初步形成教学艺术风格

第九章数学教学设计

考试内容:

（1）教案的三要素

（2）如何确定教学目标

（3）如何形成设计意图

(4)如何展示教学过程

考试要求

（1）了解一个完整的教案包含三要素，即教学目标、设计意图以及教学过程的制定

（2）理解教学目标、教学意图以及教学过程的基本含义

（3）掌握设计数学课堂教学各环节的基本理论

参考文献：

1．中华人民共和国教育部制订，《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》,北京：北京师范大出版社,2001.

2．数学课程标准研制组，《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）解读》,北京：北京师范大出版社,2002.

3．高中数学课程标准研制组编，《普通高中数学课程标准解读》，北京：北京师范大出版社,2003.

4．张奠宙，宋乃庆，《数学教育概论》北京：高等教育出版社，2004.

5．张奠宙，李士琦，李俊，《数学教育学导论》，北京：高等教育出版社，2003.

考试科目代码：[]

考试科目名称：数学基础综合

一、考核目标

要求考生系统地理解数学分析与高等代数概念、基本理论和基本方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。

二、试卷结构

（一）试卷成绩及考试时间：满分为100分，考试时间为120分钟。

（二）答题方式：闭卷、笔试

（三）试卷内容及比例：数学分析部分：占60%；高等代数部分：占40%

（四）题型结构及分值：

1、单项选择题，8小题，每小题3分，共24分；

2、填空题，6小题，每小题4分，共24分；

3、解答题与证明题，5小题，共52分。

三、考试内容

（一）数学分析部分（占50%，50分）

1、函数、极限、连续

考试内容

函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数，基本初等函数的性质及其图形，初等函数，函数关系的建立。

数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限和右极限，无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算　极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限及其应用。

函数连续的概念，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质及其证明。

考试要求

（1）理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。

（2）了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

（3）理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

（4）掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。

（5）理解极限的概念。

（6）掌握极限的性质及四则运算法则。

（7）掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

（8）理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。

（9）理解函数连续性的概念（含左连续与右连续）。

（10）掌握闭区间上连续函数的性质，并了解其证明。

2、一元函数微分学

考试内容

导数和微分的概念，导数的几何意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线和法线，导数和微分的四则运算，基本初等函数的导数，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法，高阶导数，一阶微分形式的不变性，微分中值定理及其应用，洛必达（L’Hospital）法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线，函数的最大值与最小值　

考试要求

（1）理解导数和微分的概念，函数的可导性与连续性之间的关系，导数与微分的关系，导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程。

（2）熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

（3）了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

（4）会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数。

（5）理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解柯西(Cauchy)中值定理。

（6）掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

（7）理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。

（8）会用导数判断函数图形的凹凸性

3、一元函数积分学

考试内容

原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式，定积分的概念和基本性质，定积分中值定理，积分上限的函数及其导数，牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法，有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分，定积分的应用。

考试要求

（1）理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念。

（2）掌握不定积分的基本公式，不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，换元积分法与分部积分法。

（3）掌握牛顿-莱布尼茨公式，会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。

（4）理解积分上限的函数，会求它的导数。

（5）了解反常积分的概念，会计算反常积分。

（6）掌握用定积分表达和计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。

4、多元函数微分学

考试内容

多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数的极限与连续的概念，有界闭区域上多元连续函数的性质，多元函数的偏导数和全微分，全微分存在的必要条件和充分条件，多元复合函数、隐函数的求导法，二阶偏导数，方向导数和梯度，空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线，多元函数的极值和条件极值，多元函数的最大值、最小值及其简单应用。

考试要求

（1）理解多元函数的概念，多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分。

（2）掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。

（3）了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。

（4）理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

5、多元函数积分学

考试内容

二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用，

考试要求

（1）理解二重积分与三重积分的概念及其性质，了解二重积分的中值定理。

（2）掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。

（3）掌握三重积分的计算方法（直角坐标、柱坐标、球坐标）。

6、无穷级数

考试内容

常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念，级数的基本性质与收敛的必要条件，几何级数与p级数及其收敛性，正项级数收敛性的判别法，交错级数与莱布尼茨定理，幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域　幂级数的和函数，简单幂级数的和函数的求法，初等函数的幂级数展开式。

考试要求

（1）理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

（2）掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件。

（3）掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法和柯西（Cauchy）积分判别法。

（4）掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

（5）理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

（6）了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。

（7）掌握ex，sinx，ln(1+x)，及(1+x)a的麦克劳林（Maclaurin）展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数。

（二）高等代数

1、多项式

考试内容

数域，一元多项式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，多项式函数，复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式。

考试要求

（1）掌握数域的定义，理解数域P上一元多项式的定义，次数，一元多项式环等概念，掌握多项式的运算及运算律。

（2）理解整除的定义，熟练掌握带余除法及整除的性质。

（3）理解和掌握两个（或若干个）多项式的最大公因式，互素等概念及性质。能用辗转相除法求两个多项式的最大公因式。

（4）掌握不可约多项式的定义及性质。了解因式分解定理。

掌握多项式函数的概念，余数定理，多项式的根及性质。理解代数基本定理。熟练掌握复（实）系数多项式分解定理及标准分解式。

2、行列式

考试内容

排列，n阶行列式的定义，n阶行列式的性质，n阶行列式的展开，行列式的计算，克拉默(Cramer)法则，行列式的乘法规则。

考试要求

（1）掌握排列、逆序数、奇偶排列的定义。掌握排列的奇偶性与对换的关系。

（2）掌握行列式的基本性质，理解矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，能利用行列式性质计算一些简单行列式。

（3）理解元素的余子式、代数余子式等概念。熟练掌握行列式按一行（列）展开的公式。

（4）掌握克拉默(Cramer)法则，

3、线性方程组

考试内容

消元法，n维向量空间，线性相关性，矩阵的秩，线性方程组有解判别定理，线性方程组解的结构。

考试要求

（1）掌握一般线性方程组，方程组的解，增广矩阵，线性方程组的初等变换等概念及性质。掌握阶梯形方程组的特征及作用。会求线性方程组的一般解。

（2）掌握n维向量及两个n维向量相等的定义。熟练掌握向量的运算规律和性质。

（3）理解线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质。掌握两个向量组等价的定义及等价性质定理。理解向量组的极大无关组、秩的定义，并会求向量组的一个极大无关组。

（4）掌握矩阵的行秩、列秩，以及矩阵的秩的定义。掌握矩阵的秩与其子式的关系。

（5）掌握线性方程组的有解判别定理，掌握线性方程组的公式解。

（6）理解齐次线性方程组的基础解系。掌握基础解系的求法、线性方程组的结构定理。并对有解的一般线性方程组，会求其全部解。

4、矩阵

考试内容

矩阵的概念，矩阵的运算，矩阵乘积的行列式与秩，矩阵的逆，矩阵的分块，初等矩阵，分块乘法的初等变换及应用。

考试要求

（1）掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算及其计算规律。

（2）掌握矩阵乘积的行列式定理，矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系。

（3）掌握可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念，掌握一个n阶方阵可逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵。

（4）理解分块矩阵的意义，掌握分块矩阵的加法、乘法的运算及性质。

（5）掌握初等矩阵、初等变换等概念及它们之间的关系，掌握一个矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件；会用初等变换的方法求一个方阵的逆矩阵。

（6）理解分块乘法的初等变换和广义初等矩阵的关系，会求分块矩阵的逆。

5、二次型

考试内容

二次型的矩阵表示，标准型，正定（半正定）二次型。

考试要求

（1）正确理解二次形和非退化线性替换的概念，掌握二次型的矩阵表示及二次型与对称矩阵的一一对应关系，掌握矩阵的合同概念及性质。

（2）理解二次型的标准形，掌握化二次型为标准形的两种基本方法。

（3）理解复数域和实数域上二次型的规范性的唯一性，了解符号差、惯性指数等概念，理解正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念，熟练掌握正定二次型（半正定二次型）的若干等价条件。

6、线性变换

考试内容

线性变换的定义，线性变换的运算，线性变换的矩阵，特征值与特征向量，对角矩阵，线性变换的值域与核。

考试要求

（1）掌握线性变换的定义及性质，线性变换的运算及运算规律，理解线性变换的多项式。

（2）掌握线性变换与矩阵的联系，矩阵相似的概念和线性变换在不同基下的矩阵相似等性质。

（3）理解矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念和性质，会求一个矩阵的特征值和特征向量，掌握相似矩阵与它们的特征多项式的关系及哈密顿-凯莱定理。

7、欧几里德空间

考试内容

定义与基本性质，标准正交基，同构，正交变换，子空间，实对称矩阵的相似标准形，向量到子空间的距离。

考试要求

（1）理解欧氏空间的定义及性质，内积的本质，掌握向量的长度，两个向量的夹角、单位向量、正交及度量矩阵等概念和基本性质，各种概念之间的联系和区别。

（2）理解正交向量组、标准正交基的概念，掌握施密特正交化过程，并能把一组线性无关的向量化为单位正交的向量。

（3）理解正交变换的概念及几个等价关系，掌握正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系。

（4）理解两个子空间正交的概念，掌握正交与直和的关系，及有限维欧氏空间中的每一个子空间都有唯一的正交补的性质。

（5）掌握任一个实对称矩阵均可正交相似于一个对角阵，求正交阵的方法，能用正交变换化实二次型为标准型。

参考文献

1、华东师范大学数学系，数学分析（上、下册）（第四版），高等教育出版社，2010年。

2、刘玉琏，傅沛仁，数学分析讲义(上、下册)(第五版)，高等教育出版社，2008年。

3、北京大学数学系几何与代数教研室，高等代数（第四版），高等教育出版社，2007年。

4、张禾瑞、郝鈵新，高等代数（第五版），高等教育出版社，2007年。

考试科目代码：[]

考试科目名称：空间解析几何

一、考核目标

考核学生对解析几何的基本概念、基础知识、基本理论的掌握情况，考核学生运用解析几何理论和方法处理实际问题的能力。

二、试卷结构

（一）试卷成绩及考试时间：满分为100分，考试时间为120分钟。

（二）答题方式：闭卷、笔试

（三）题型结构及分值：

1、判断题，5小题，每小题2分，共10分；

2、单项选择题，10小题，每小题4分，共40分；

3、解答题与证明题，5小题，共50分。

二、考试内容

（一）向量与坐标

考试内容

向量的概念，向量的加减法，向量的线性运算，标架与坐标，应用向量的线性运算解初等几何问题，向量的数量积和向量积，向量的混合积，两向量垂直、平行的条件，两向量的夹角，向量的坐标表达式及其运算。　

考试要求

（1）理解向量的有关基本概念，如单位向量、方向余弦、两向量的夹角、向量的投影等。

（2）掌握向量的各种运算（线性运算、数量积、向量积、混合积）的定义及其对应的几何意义、运算规律与坐标表示，并能熟练的运用它们解决几何问题。

(3)掌握向量积、混合积的几何意义，掌握两向量垂直、共线、三向量共面的充要条件，并能熟练地运用它们解决几何问题。

（4）理解坐标系建立的依据以及向量的坐标与点的坐标的含义，熟练地利用向量的坐标进行运算。

（5）利用向量代数的知识解决某些初等几何问题。

（二）平面与空间直线

考试内容

平面方程，直线方程，平面与平面、平面与直线、直线与直线的位置关系、它们之间的夹角以及距离，点到平面和点到直线的距离，平面束。

考试要求

（1）掌握平面方程和直线方程的各种形式，能根据所给的条件建立适当的平面或直线的方程。

（2）掌握平面与平面、直线与平面、直线与直线的各种位置关系及其判断方法，并能熟练运用他们解决几何问题。

（3）掌握两异面直线的距离及两异面直线的公垂线方程；会求两平面、两直线、直线与平面的交角以及点到直线、点到平面的距离等。

（4）理解平面束的概念，能利用平面束来解决有关的问题。

（三）柱面，锥面，旋转曲面与二次曲面

考试内容

曲面方程和空间曲线方程的概念，球面，柱面，锥面，旋转曲面，空间曲线与曲面的参数方程和一般方程，空间曲线在坐标面上的投影曲线方程，五种典型的二次曲面，二次直纹曲面。

考试要求

（1）了解曲面方程和空间曲线方程的概念。

（2）掌握球面、柱面、锥面、旋转曲面的概念及方程的求法。

（3）了解空间曲线与曲面的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求投影曲线的方程。

（4）掌握五种典型的二次曲面的标准方程及其图形，能够利用二次曲面标准方程的特点，利用平行截割法等研究二次曲面的特征。

（5）了解空间曲线与空间区域的画法。

（6）掌握单叶双曲面与双曲抛物面的直纹性质及直母线方程的求法。

参考文献：

1、吕林根，许子道，解析几何(第4版)，高等教育出版社，2006年。

2、丘维声，空间解析几何（第二版），北京大学出版社，1996年。

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