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应用数学——专业综合 考试基本要求

第一部分 数学物理方程

一、一维波动方程

要求掌握： 一维波动方程的建立；定解问题的提出；齐次方程混合问题的Fourier解法（分离变量法）；电报方程；强迫振动，非齐次方程的求解。

二、热传导方程

要求掌握：热传导方程的建立；热传导方程的Fourier级数解；初值问题的Fourier积分解；一端有界的热传导问题。

三、调和方程圆的边值问题

要求掌握：圆的Dirichlet问题的提法； Fourier级数解； 函数的引入、性质

四、波动方程

要求掌握：初值问题达D’Alembert解的提出；解的物理意义；依赖区间、决定区域和影响区域。高维波动方程的初值问题；降维法；解的物理意义；非齐次波动方程；推迟势。

五、调和方程解的积分公式

要求掌握：Green公式；调和函数的基本性质；调和方程球的Dirichlet问题的积分公式；Green函数；Laplace方程Dirichlet问题解的Green函数表示；Poisson方程的导出；Poisson方程Green问题的积分公式。

六、定解问题的适定性

要求掌握：适定性的定义和反向问题的不适定性。

第二部分 复变函数

一、复数与复变函数

理解复数、区域、单连通区域、多连通区域、约当曲线、光滑（逐段光滑）曲线、无穷远点、扩充复平面等概念；理解复数的性质，掌握复数的运算，理解复数的模和辐角的性质；理解并掌握复变函数极限与连续性的概念与性质。

二、解析函数

理解解析函数的定义、性质及其充分必要条件；了解函数在一点解析与函数在一点可微的区别，熟练掌握利用Cauchy-Riemann条件判别解析函数的方法；掌握指数函数、三角函数的定义和性质，注意与实指数函数、实三角函数的区别；了解初等多值函数单值化方法（限制辐角或割破平面）；熟练掌握解析函数在单叶性区域内由初值确定终值；理解反三角函数、一般幂函数、一般指数函数的定义与计算。

三、复变函数的积分

理解复积分的概念、性质，掌握复积分的计算方法；理解Cauchy积分定理，熟练掌握利用Cauchy积分定理计算函数沿闭曲线的积分；理解Cauchy积分定理的推广；理解Cauchy积分公式、高阶导数公式，熟练掌握利用Cauchy积分公式、高阶导数公式计算函数沿闭曲线的积分；了解解析函数的无穷可微性；了解Cauchy不等式与Liouville定理，掌握其证明方法；掌握利用Morera定理判断解析函数的方法；熟练掌握已知解析函数的实部（或虚部），求该解析函数的方法。

四、解析函数的幂级数表示法

了解复级数的基本概念；掌握复变函数项级数的收敛、一致收敛、内闭一致收敛的定义及判别方法；理解解析函数项级数的和函数的性质；理解幂级数的敛散性；理解收敛圆、收敛半径的概念；了解幂级数和的解析性；理解解析函数的幂级数表示；熟练掌握一些初等函数的泰勒展式；了解幂级数的和函数在收敛圆周上的奇点的存在性；理解解析函数的零点孤立性、唯一性定理、最大模原理。

五、解析函数的Laurent展式与孤立奇点

了解双边幂级数的有关概念；了解Laurent定理，熟练掌握将解析函数分别在指定圆环和孤立奇点去心邻域内展成Laurent级数的方法；了解Laurent级数与Taylor级数的关系；理解孤立奇点的概念，掌握判断孤立奇点类型的方法；了解解析函数在孤立奇点去心邻域内的性质；掌握解析函数在无穷远点的性质；了解整函数与亚纯函数的概念。

六、 留数理论及其应用

理解留数的定义，熟练掌握留数的求法；理解留数定理，掌握利用Cauchy留数定理计算函数沿闭曲线的积分；熟练掌握用留数定理计算实积分；了解对数留数的概念；理解辐角原理、Rouche定理，熟练掌握求解析函数在指定区域内的零点个数的方法。

七、共形映射

了解解析变换的特性（保域性、保角性、共形性）；理解分式线性变换的映射性质，掌握将区域D共形映射为区域G 的分式线形变换；了解幂函数、指数函数、根式函数、对数函数的映射性质，掌握它们所构成的共形映射。

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